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理解定积分上下限互换要变号
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最新推荐文章于 2024-05-26 10:32:49 发布
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#数学
本文解释了函数f(x)在区间[a, b]上的面积与关于y轴对称后的函数f(-x)在[-b, -a]上的面积相等的原理，并通过换元法证明了∫abf(x)dx = -∫baf(x)dx。
∫abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx∫abf(x)dx的值是图1的中函数在区间[a,b][a,b ][a,b]中和横轴的构成曲边图形的面积，将面积用AAA代替。
将f(x)f(x)f(x)以纵坐标对称得到f(−x)f(-x)f(−x)此时函数图像如图2所示：
关于纵轴对称并不会影响面积 AAA 的大小。此时面积 AAA 可以表示为 A=∫−b−af(−x)dxA = \int_{-b}^{-a}f(-x)dxA=∫−b−af(−x)dx ，使用换元法 x′=−xx' = -xx′=−x 得到（注意换元必换限）：
A=∫x=−bx=−af(−x)dx=∫−x′=−b−x′=−af(x′)d(−x′)=∫x′=bx′=af(x′)d(−x′)=−∫x′=bx′=af(x′)dx′=−∫baf(x′)dx′\begin{aligned}
A &= \int_{x=-b}^{x=-a}f(-x)dx\\
&= \int_{-x'=-b}^{-x'=-a}f(x')d(-x') \\
&=\int_{x'=b}^{x'=a}f(x')d(-x') \\
&=-\int_{x'=b}^{x'=a}f(x')dx' \\
&=-\int_{b}^{a}f(x')dx'
\end{aligned}A=∫x=−bx=−af(−x)dx=∫−x′=−b−x′=−af(x′)d(−x′)=∫x′=bx′=af(x′)d(−x′)=−∫x′=bx′=af(x′)dx′=−∫baf(x′)dx′
因此∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx = -\int_{b}^{a}f(x)dx∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx
